物理可操作模型
單擺週期
T ≈ 2π√(L/g)
長度 1.2 m 時，小角度近似週期約 2.20 s。
薄荷綠箭頭為瞬時速度向量：方向沿圓弧切線，長度隨速度改變；公式採小角度近似。
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往下滑，
把抽象關係一個個打開。
像翻閱圖鑑一樣探索數學與科學。每張卡都能直接操作，不必先離開這一頁。
數學可操作模型
正弦波參數
y = 1 sin(1x + 0) + 0
振幅 1週期 2π中線 y = 0
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靜力平衡
2T = W，F = W / 2
理想狀態所需拉力約 196.2 N；繩端移動 0.8 m，負載移動 0.4 m。
忽略滑輪與繩的質量及摩擦；同一條繩張力相同，動滑輪由兩股張力共同支撐。
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動量與衝量
J = ∫F dt = Δp
外力停止時，衝量為 4.8 N·s，箱子速度為 3.20 m/s。
箱子質量固定 1.5 kg、由靜止開始；施力停止後因平面無摩擦而保持等速。
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定量氣體狀態
P ∝ T / V（n 固定）
相對於 300 K、體積 1.0，壓力約為 1.00 倍。
粒子動畫是示意；即時數值依理想氣體、物質的量固定比較。
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拋體運動
R = v₀² sin(2θ) / g
忽略空氣阻力、同高度落地時，射程約 40.8 m，滯空 2.88 s。
畫布採固定公尺刻度；改變初速或仰角時，可直接比較軌跡的水平距離與最高高度。
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一維碰撞
p前 = p後，e = 分離速率 / 接近速率
碰後速度約為 0.69 與 3.09 m/s；動能保留 85%。
甲初速 3.0 m/s、乙靜止；e = 1 為完全彈性，e = 0 為完全非彈性。
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月相週期
朔望月 ≈ 29.53 日
第 7.4 日：從地球觀察接近 上弦月。
拖動月球位置，比較太陽、地球與月球的相對方位。
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天球與升落方位
h = f(φ, δ, H)
8 月 30 日 20:00，目前太陽高度 -21.9°、月亮高度 3.5°。
播放鍵會沿 2026 年逐日推進。時刻採基準經線上的地方平均太陽時；升落已納入大氣折射近似，未計地形、天氣與視野遮蔽。
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轉動與轉動慣量
I = Σmr²，τ = Iα
轉動慣量 1.28 kg·m²，角加速度 1.56 rad/s²。
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波的傳播與疊加
y = y₁ + y₂
第二列波振幅 1.0 cm、相位差 60°；重疊區位移依瞬時相位相加。
橘線與薄荷線為兩列波，亮色線為合成結果。
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聲音、共鳴與駐波
fₙ = nv / 2L
管長 1.0 m、第 2 模態，共鳴頻率約 340 Hz。
曲線表示壓力擾動：固定不動處為壓力節點，振幅最大處為壓力波腹。
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光的反射與折射
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
入射角 40°，折射角約 25.4°。
虛線為法線；橘色為入射與反射光，薄荷色為折射光。
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凸透鏡與凹透鏡成像
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ
物距 36 cm、焦距 12 cm，實像像距 18.0 cm。
橘色箭頭是物體，薄荷色箭頭是成像；實像倒立、虛像正立，物距等於焦距時出射光平行。
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熱量、比熱與熱平衡
Q = mcΔT
與 20°C、等基準質量的冷水混合後，平衡溫度約 45.0°C。
粒子亮度表示溫度；能量由熱水移向冷水直到平衡。
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壓力、浮力與密度
Fᴮ = ρ液gV排
物體漂浮，浸入比例約 75%。
液面位於畫面中央；橘色向下箭頭為重力、薄荷色向上箭頭為浮力，沉底時金色 N 為容器支持力。
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直線運動圖像
x = x₀ + v₀t + ½at²
模擬 4 秒後，速度為 8.0 m/s，位移為 24.0 m。
小車、位置曲線與速度線使用同一個模擬時間。
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牛頓定律與摩擦力
ΣF = ma
箱子質量固定 5 kg；合力 22 N，加速度 4.4 m/s²。
橘色箭頭為外力，金色箭頭為摩擦力，薄荷色箭頭為合力。
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功、動能與位能
K + U = constant
從 5.0 m 滑下、耗散 10% 時，底部速度約 9.4 m/s。
右側能量柱同步顯示位能、動能與耗散能量。
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並聯電路與歐姆定律
V = IR
單一支路電流 2.00 A；兩個相同支路並聯時總電流加倍。
移動光點表示傳統電流方向，燈泡亮度依功率改變。
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電流磁效應與電磁感應
ℰ = −N ΔΦᴮ/Δt
相對感應電動勢指標 1.40；速度或匝數增加都會放大訊號。
線圈固定在中央；磁鐵以紅色 N 極、粉藍色 S 極區分，頂端文字標示正在接近、穿越或離開線圈，感應電流方向隨磁通量變化反轉。
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等速圓周運動
Fᶜ = mv²/r
向心加速度 12.0 m/s²；速度箭頭沿切線，合力箭頭指向圓心。
薄荷色為速度向量，橘色為向心合力向量。
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彈簧簡諧運動
T = 2π√(m/k)
理想週期約 0.86 s；質量增加會變慢，彈簧變硬會變快。
速度向量在平衡點最大，回復力向量永遠指向平衡點。
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電場、電位與帶電粒子
E = kq/r²
左側固定 +1，右側為 +1.0；間距 3.0 m。
場線方向依正試驗電荷定義，中央箭頭顯示局部合電場。
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粒子運動與三態
Ēₖ ∝ T
目前 70°C、1.0 atm，呈現液態示意；升溫使粒子加速，加壓使可活動空間縮小。
相變門檻只用來比較粒子排列，不代表特定物質的真實相圖。
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原子結構與離子
q = (Nₚ − Nₑ)e
原子序 11，目前淨電荷 +1。
電子沿簡化能階運動；這是教學模型，不代表電子的真實軌道。
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溶解度曲線與結晶
S = mₛ / 100 g water
此教學曲線下可溶約 52 g；約有 3 g 析出。
橘色點標示目前條件，杯底晶體量與超出溶解度的部分連動。
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質量守恆與粒子重組
m反應物 = m生成物
4 組粒子反應進度 60%；兩側 H、O 原子總數始終一致。
滑桿改變的是重新組合比例，畫面上下方的原子計數不變。
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限量試劑
2A + B → A₂B
可生成 3 mol A₂B；剩餘 A 1 mol、B 1 mol。
粒子會依 2:1 配成生成物，多餘反應物保留在原區域。
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氧化還原與電子轉移
Ox + ne⁻ → Red
每次反應轉移 2 個電子；電池電位差為 1.5 V。
薄荷色電子沿外電路由氧化槽流向還原槽；動畫速率僅編碼電位差訊號強弱，不代表真實電子漂移速率與電壓成正比。
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酸鹼滴定曲線
n(H⁺) = n(OH⁻)
強酸強鹼模型的當量體積 20.0 mL；目前 pH 約 7.00。
假設 25.0 mL 一元強酸以 0.500 M 強鹼滴定；曲線、光點與溶液顏色同步。
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反應速率與碰撞
rate = k[A]ᵐ
相對碰撞速率指標 2.83；閃光代表達到門檻的有效碰撞。
粒子數依濃度、速度依溫度改變；只有部分碰撞顯示反應閃光。
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動態平衡與勒沙特列原理
K = [C]ᶜ[D]ᵈ/[A]ᵃ[B]ᵇ
此放熱示意模型的新平衡約含 62% 生成物；正逆反應仍同時進行。
左右移動的粒子分別代表正逆反應，速率相等時巨觀組成穩定。
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四季與太陽路徑
h正午 = 90° − |φ − δ|
太陽赤緯 23.4°、正午高度 88.4°，理想晝長約 13.6 小時。
弧線寬度對應理想晝長；端點文字依太陽赤緯標示日出、日落偏北或偏南。
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板塊邊界與地形
d = vt
聚合邊界，相對速率 5 cm/年；箭頭顯示板塊運動方向。
邊界型態滑桿：−1 張裂、0 錯動、+1 聚合。
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震源、震央與地震波
Δt = d(1/vˢ − 1/vᴾ)
60 km 深、規模 6.0；P 波前緣永遠領先 S 波，振幅隨距離衰減。
黃色為 P 波、薄荷色為 S 波；地表三角形是測站。
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岩石循環
岩漿 → 火成 ↔ 沉積 ↔ 變質
熱壓作用 65%、侵蝕搬運 45%；熱壓—變質路徑較顯著。
三角節點代表岩類，發光箭頭顯示目前較強的地質作用；熔融與冷卻仍可把物質帶回火成岩。
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鋒面與降水
ρ ∝ 1/T
兩氣團溫差 17°C；溫差越大，模型中的抬升與對流越顯著。
藍色冷空氣插入下方，橘色暖空氣沿鋒面抬升，水滴落在雲下。
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颱風結構與能量
f = 2Ω sinφ
海溫 29.0°C、北緯 18°；暖海與足夠科氏力使環流指標增強。
流線逆時針旋入，中央留出風弱少雲的颱風眼。
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日月引潮力與潮汐
F潮 ∝ M/r³
日月引潮方向疊加指標 50%，太陽相對影響 1.0；接近小潮。
此圖簡化比較潮差：月球引潮軸會轉動，太陽方向固定向右；日月同線時潮差增大、接近直角時減小，不作區域潮位預報。
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地球能量收支與氣候
S(1 − α)/4 = σTₑ⁴
相對前工業條件的簡化頂層輻射強迫約 +2.17 W/m²。
黃色箭頭是短波，橘色箭頭是長波；反照率項採 S₀/4 的全球平均近似，返回地表的長波符號隨溫室氣體增加。
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